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2x2行列の関数

この記事は MCC Advent Calendar 2017 - Adventar の8日目の記事です。
前回は、gurapomuさんによるCrystalのプログラムをRaspberry pi上で動かすでした。
今年もなぜか数学ネタですね。情報系と関係ないのですが、しばしお付き合いを。

2x2行列の関数を求めてみましょう.よくあるのは行列のn乗
$\Mat{ a & b \\ c &d }^n$
や指数関数
$\exp \Mat{ a & b \\ c &d }$
などがあります.しかし,一般の関数fに拡張して
$f \Mat{ a & b \\ c &d }$
としたらどのような表式になるのでしょうか.

今回はそのような行列関数を数値計算なしに,紙と鉛筆だけで解析的に求めてみます.

計算法


行列の関数は,対角行列なら
$$
f\Mat{ A & \\ & B } = \Mat{ f(A) & \\ & f(B) }
$$
という性質を使い,対角化して求めても良いです.しかし,それは計算量が多くて大変なので,代わりに留数定理を使います.
これは次のような複素積分です(といっても,今回は積分というよりは,fの引数に,分母のzから引き算されているものを放り込むだけの操作と捉えましょう).
$$
f(M) = \frac{1}{\I 2\pi} \oint \D{z} f(z) \frac{1}{z - M}
$$
ここで,zは複素数の積分変数で,Mは行列です.分数の形の行列は逆行列を表すとします.

計算してみる


f(M)の式に
$$
M = \exp \Mat{ a & b \\ c &d }
$$
という一般の行列を入れて計算してみます(だがしかし、abcdの各成分を露わに使いはしません。なんせ、この計算では、「成分を書いたら負け」ですから^_^;).そこでまず,逆行列の部分から計算してみます.
$$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{z - M} &=& \frac{\mathrm{adj} (z - M)}{\det (z - M)} \\
&=& \frac{\mathrm{adj} (z - M)}{\det (M - z)} \\
&=& \frac{\mathrm{adj} (z - M)}{|M| -\tr{M} + z^2} \\
&=& \frac{\mathrm{adj} (z - M)}{(z-\lambda_+)(z-\lambda_-)} \\
\end{eqnarray}
$$
ここで,逆行列は余因子行列を行列式で割ったものという性質を使いました.また,その後の分母は固有方程式の形になっていますので,zから固有値$\lambda_+$,$\lambda_-$を引いたものの積に変換できます.ただし,固有値は
$$
\lambda_\pm = \frac{\tr{M}}{2} \pm \sqrt{ \Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M| }
$$
で与えられます.ここで、tr(M)とはトレースといいまして、対角成分の合計です。今回の場合はtr(M)=a+dになります。次に,これを部分分数分解します.
$$
\begin{eqnarray}
&=& \frac{\mathrm{adj} (z - M)}{(z-\lambda_+)(z-\lambda_-)} \\
&=& \frac{1}{z-\lambda_+} \frac{\mathrm{adj} (\lambda_+ - M)}{\lambda_+ - \lambda_-}
+\frac{1}{z-\lambda_-} \frac{\mathrm{adj} (\lambda_- - M)}{\lambda_- - \lambda_+} \\
&=& \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ \frac{\mathrm{adj} (\lambda_+ - M)}{z - \lambda_+} - \frac{\mathrm{adj} (\lambda_- - M)}{z - \lambda_-} } \\
\end{eqnarray}
$$
これで積分できる形になったので,複素積分してみます.と,いってもf(z)に固有値を放り込んでi2πを掛けるだけの簡単なお仕事ですが.
$$
\begin{eqnarray}
f(M) &=& \frac{1}{\I 2\pi} \oint \D{z} f(z) \frac{1}{z - M} \\
&=& \frac{1}{\I 2\pi} \oint \D{z} f(z) \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ \frac{\mathrm{adj} (\lambda_+ - M)}{z - \lambda_+} - \frac{\mathrm{adj} (\lambda_- - M)}{z - \lambda_-} } \\
&=& \frac{1}{\I 2\pi} \oint \D{z} \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ f(z) \frac{\mathrm{adj} (\lambda_+ - M)}{z - \lambda_+} - f(z) \frac{\mathrm{adj} (\lambda_- - M)}{z - \lambda_-} } \\
&=& \frac{1}{\I 2\pi} \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ \I 2\pi f(\lambda_+) \mathrm{adj} (\lambda_+ - M) -\I 2\pi f(\lambda_-) \mathrm{adj} (\lambda_- - M) } \\
&=& \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ f(\lambda_+) \mathrm{adj} (\lambda_+ - M) - f(\lambda_-) \mathrm{adj} (\lambda_- - M) } \\
\end{eqnarray}
$$
ここで,固有値$\lambda_\pm$の表式を入れてみます.ただし,√の中身は「・・・」と書いて省略します.
$$
\begin{eqnarray}
&=& \frac{1}{\lambda_+ - \lambda_-}
\Pt{ f(\lambda_+) \mathrm{adj} (\lambda_+ - M) - f(\lambda-+) \mathrm{adj} (\lambda_- - M) } \\
&=& \frac{f(\lambda_+) \mathrm{adj} (\lambda_+ - M) - f(\lambda_-) \mathrm{adj} (\lambda_- - M)}{\Pt{ \frac{\tr{M}}{2} + \sqrt{\cdots} } - \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - \sqrt{\cdots} }} \\
&=& \frac{1}{ 2\sqrt{\cdots} }
\Pt{ f(\lambda_+) \mathrm{adj} (\lambda_+ - M) - f(\lambda_-) \mathrm{adj} (\lambda_- - M) } \\
&=& \frac{1}{ 2\sqrt{\cdots} }
\Pt{ f(\lambda_+) \mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} + \sqrt{\cdots} - M} - f(\lambda_-) \mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - \sqrt{\cdots} - M} } \\
&=& \frac{1}{ 2\sqrt{\cdots} }
\Pt{
f(\lambda_+) \Pt{ \sqrt{\cdots} + \mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M} }
- f(\lambda_-) \Pt{ -\sqrt{\cdots} + \mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M} }
} \\
&=& \frac{ f(\lambda_+) + f(\lambda_-) }{2} \\
&+& \frac{ f(\lambda_+) - f(\lambda_-) }{2}
\frac{1}{ \sqrt{\cdots} }
\mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M}
\end{eqnarray}
$$

計算結果


結果として,2x2行列の関数は
$$
\begin{eqnarray}
f(M)
&=& \frac{ f(\lambda_+) + f(\lambda_-) }{2} \\
&+& \frac{ f(\lambda_+) - f(\lambda_-) }{2}
\frac{1}{ \sqrt{\Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M|} }
\mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M} \\
&& \Pt{ \lambda_\pm = \frac{\tr{M}}{2} \pm \sqrt{ \Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M| } }
\end{eqnarray}
$$
と求められました.具体的に,指数関数を考えると,
$$
\begin{eqnarray}
\exp(M)
&=& \frac{ \exp(\lambda_+) + \exp(\lambda_-) }{2} \\
&+& \frac{ \exp(\lambda_+) - \exp(\lambda_-) }{2}
\frac{1}{ \sqrt{\Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M|} }
\mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M} \\
&=& \exp\Mat{
\frac{\tr{M}}{2} } \Pt{
\cosh\Pt{ \sqrt{ \Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M| } }\\
+\frac{\mathrm{adj} \Pt{ \frac{\tr{M}}{2} - M}}{ \sqrt{\Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M|} }
\sinh\Pt{ \sqrt{ \Pt{\frac{\tr{M}}{2}}^2 - |M| } }
}
\end{eqnarray}
$$
となります.


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